畢達哥拉斯(Pythagoras)數學家音樂家,證明了直角三角形的三個內角和是 一百八十度。最著名的結果當然 就是那個所謂「畢氏定理」了。畢氏早年受教於泰利斯 (Thales)。由泰利斯處畢氏獲益非淺。畢氏認為尋找證明就是尋找認識,而這種認識比任何訓練所累積的經驗都不容置疑,數學邏輯是真理的仲裁者。對畢達歌拉斯而言,數學之美在於有理數能解釋一切自然現象。這種起指導作用的哲學觀使畢氏對無理數的存在視而不見,甚至導致他一個學生被處死。這位學生名叫希帕索斯,出於無聊,他試圖找出根號二的等價分數,最終他認識到根本不存在這個分數,也就是說根號2是無理數,希帕索斯對這發現,喜出望外,但是他的老師畢氏卻不悅。因為畢氏已經用有理數解釋了天地萬物,無理數的存在會引起對他信念的懷疑。然而,畢氏始終不願承認自己的錯誤,卻又無法經由邏輯推理推翻希帕索斯的論證。使他終身蒙羞的是,他竟然判決將希帕索斯淹死。這是希臘數學的最大悲劇,只有在他死後無理數才得以安全的被討論著。後來,歐幾里德以反證法證明是無理數。勾股定理,又稱商高定理,畢達哥拉斯定理畢氏定理,是一個基本的幾何定理,早在中國商代就由商高發現,記載在一本名為《周髀算經》的古書中。據說畢達高拉斯發現了這個定理後,即斬了百頭牛作慶祝,因此又稱「百牛定理」。泰勒斯(Thales of Miletus)希臘七賢之首數學之父─泰勒斯道理就在這堙F泰勒斯最先證明了如下的定理:圓被任一直徑二等分等腰三角形的兩廣角相等兩條直線相交,封頂角相等半圓的內接三角形,一定是直角三角形。如果兩個三角形有一條邊以及這條邊上的兩個角對應相等,那麼這兩個三角形全等。"這個定理也是泰勒斯最先發現並最先證明的,後人常稱之為泰勒斯定理西波克拉底斯(Hippocrates) ,傑出的幾何學家,醫學之父;他深入研究過化圓為方及倍立方的問題。從他的工作可以看出,歐幾里得《幾何原本》中的許多定理已為希波克拉底所知,事實上他是第一個匯編 有關幾何原理著作的希臘學者,可惜原書已失傳了。後人認為歐幾里得可能在內容上和體例上都借鑒了他的著作。最著名的貢獻為『化圓為方之問題』『立方倍積問題』希皮亞斯,Hippias,希皮亞斯於研究三等分角時引進的割圓曲線;門內馬斯,阿波羅尼奧斯從圓錐面為平面所截而得的圓錐曲線;阿基米德用運動定義了螺線;於《幾何原本》中,歐幾里得敘述了「有長度而無寬度」的曲線概念。而且,他有頗長時期被作為不定義之原始概念來使用。十七世紀,法國數學家梅森1615年把已知的旋輪線(擺線)定義為當車輪沿地面作無滑動的純滾動時輪緣上一個定點的軌跡;義大利伽利略視拋物線為物體向上斜拋時運動的軌跡;其後英國巴魯牛頓之工作,使曲線逐漸被視為動點的軌跡。笛卡兒提出了幾何曲線的概念,並透過建立坐標系以代數方程定義曲線。歐拉則於1748年以參數表示他所研究的曲線(以第三個變量表示曲線上的x,y坐標), 但不作曲線之定義。十九世紀後,法國數學家約當1893年把平面上連續曲線定義為點集{(x,y)|x=f(t),y=g(t), f,g是t的連續函數}。但這定義卻過於寬廣,因它包括了許多曲線及1890年發現的皮亞諾曲線,曲線上的點「可填滿一個正方形」。這矛盾直至本世紀二十年代才被「拓撲學」觀點定義曲線解決了。雖然如此, 約當的曲線定義在相當大的範圍內還是適用的。阿 爾 希 塔 斯(Archytas),他對數學及應用數學的貢獻是很大的,平均值理論比例理論是阿爾希塔斯對數學的主要貢獻,他對論了三種平均值:算術平均幾何平均調和平均,指出“差數為1的兩數之間沒有﹝有理﹞幾何平均值”,歐幾里德幾何原本》卷VIII中的大多數性質及証明是由阿爾希塔斯及其合作著現的。阿爾希塔斯應用他的平均值方法在音樂理論中取得很多成果,被托勒密譽為畢達哥拉斯學派最重要的音樂理論家。最著名的數學貢獻是倍立方體問題的求解,他利用三維空間的立體模型來解決這一問題,成為較早研究這一問題的數學家。倍立方體問題研究的第一步進展是由畢氏學派的成員希波克拉底做出的。

 

 

            歐多克斯(Eudoxus),古希臘數學家提出一個線段分割問題:在給定線段AB上找一點C使得AB:AC=AC:CB,而作圖的工具只能利用直尺跟圓規。這問題最早被歐多克斯(Eudoxus)所解決。歐多克斯將關係式AB:AC=AC:CB之比稱為“中外比”。經代數運算後可知此比值為,約為1.618。歐多克斯並且發現許多圖形的比例結構中都包含著中外比,如一等腰三角形若其底角為頂角之兩倍,則其腰長與底長之比為中外比;一正五邊形中相鄰頂角之兩對角線互相將對方分割為中外比。其實所謂“中外比”即是文藝復興時期義大利畫家達文西所稱之“黃金分割“。歐幾里得﹝Euclid﹞幾何之父歐幾里得是位希臘數學家,以著名的『幾何原本』而聞名。他影響十分深遠。羅巴切夫斯基幾何學,最著名的歐氏模型有意大利數學家貝特拉米提出的常負曲率曲面模型;德國數學家克萊因提出的射影平面模型和彭加勒提出的用自守函數解釋的單位圓內部模型。這些模型的確證實了非歐幾何的相對無矛盾性,而且有的可以推廣到更一般非歐幾何,即黎曼創立的橢圓幾何學,另外還可以推廣到高維空間上。因此,從十九世紀六十年代末到八十年代初,大部分數學家接受了非歐幾何學。儘管有的人還堅持歐幾里得幾何學的獨特性,但是許多人明確指出非歐幾何學和歐氏幾何學平起平坐的時代已經到來。也有少數頑固派,如數理邏輯的締造者弗雷格,至死不肯承認非歐幾何學。阿基米德,(Archimedes),阿基米德名言『給我一個支點,我可以舉起整個地球』阿基米德是世界上最偉大的數學家之一,後人常把他和牛頓高斯並列為有史以來三個貢獻最大的數學家阿基米德發展了天文學測量用的十字測角器,並製成了一架測算太陽對向地球角度的儀器。他最著名的發現是浮力和相對密度原理,即物體在液體中減輕的視重,等於排去液體的重量,後來以阿基米德原理著稱於世。在幾何學上,他創立了一種求圓周率的方法,即圓周的周長和其直徑的關係。阿基米德是第一位講科學的工程師,在他的研究中,使用歐幾里德的方法,先假設,再以嚴謹的邏輯推論得到結果,他不斷地尋求一般性的原則而用於特殊的工程上。他的作品始終融合數學和物理,因此阿基米德成為物理學之父。尼科梅德斯(Nicomedes),在探索某些數學問題的解答時常常會引發新的概念和發現.古代著名的三大作圖問題—三等分角問題(即把給定角分爲相等的三部分),倍立方問題(即作一個立方體使它的體積兩倍於給定立方體的體積)及化圓爲方問題(即作一個正方形使它的面積等於給定圓的面積)—刺激了數學的思考,結果許多想法在解決這些問題的努力中被發現。雖然最終表明這古代三大作圖問題不可能只用圓規和直尺作出,但卻找到了解決它們的其他辦法,蚌線就是其中之一蚌線是一種歷史悠久的曲線,它是由尼科梅德斯首先發現並用於倍立方問題和三等分角問題的。希帕霍斯(Hipparchus)早在公元前300年,古代埃及人已有了一定的三角學知識,主要用於測量。例如建築金字塔、整理尼羅河泛濫後的耕地、通商航海和觀測天象等。公元前600年古希臘學者泰勒斯利用相似三角形的原理測出金字塔的高,成為西方三角測量的肇始。公元前2世紀後希臘天文學家希帕霍斯Hipparchus of Nicaea)為了天文觀測的需要,作了一個和現在三角函數表相仿的「弦表」,即在固定的圓內,不同圓心角所對弦長的表,他成為西方三角學的最早奠基者,這個成就使他贏得了三角學之父的稱謂。公元2世紀,希臘天文學家數學家托勒密繼承希帕霍斯的成就,加以整理發揮,著成《天文學大成》,包括從0°到90°每隔半度的弦表及若干等價於三角函數性質的關係式,被認為是西方第一本系統論述三角學理論的著作。約同時代的梅內勞斯了一本專門論述球三角學的著作《球面學》,內容包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣,以及球面三角形許多獨特性質。他的工作使希臘三角學達到全盛時期。

*觀察有可學習、模仿之處、檢討自己

            畢達哥拉斯對有理數堅持,而無理數的相繼被希帕索斯發現以及歐幾里德的證明,更使得當時發生數學史上的第一次數學抹滅危機,希帕索斯被畢達哥拉斯所殺害,無疑的使他在歷史一頁留下污點,實在是令人頗感惋惜;也使我知道凡事不要以主見為堅持,就像是有時候與跟別人討論數學的時候,要虛心接納他人意見,自己沒有永遠是對的。泰勒斯對古希臘的哲學和天文學,也作出過開拓性的貢獻;他在"圓"的數學貢獻可說是奠定基礎。歷史學家肯定地說,泰勒斯的墓碑上列有這樣一段題辭:這位天文學家之王的墳墓多少小了一點,但他在星辰領域中的光榮是頗為偉大的。這如同萬物之ㄧ粟的我,在讀書的時候,只要我好好的做好我自己的分內工作,上課不要三心二意;縱然無法如泰勒斯般留名青史,但也對自己努力給予自我肯定!看了這麼多有關歐幾里的生平事蹟也知道除了《幾何原本》之外,歐幾里得還有不少著作,可惜大都失傳。歐幾里得是托勒密一世時代的人,早年學於雅典,關於歐幾里得有這樣一軼事:托勒密王問歐幾里得,除了他的《原本》之外,有沒有其他學習幾何的捷徑?歐幾里得回答“幾何無王者之道。”意思是在幾何堙A沒有專門為國王鋪設的大路。這句話後來推廣為“求知無坦途”,成為傳誦千古的學習名言。這也告訴了我平常在學數學時候,並非聽老師說一說講課就能夠融會貫通的,實際上要了解並領悟到必須自己動手去算,真正的學習是自己行動去實行的而非有捷徑之路,知識要一步一步的累積,如同堆積木一般!阿基米德,經常為了研究而廢寢忘食,走進他的住處,隨處可見數字和方程式,地上則是畫滿了各式各樣的圖形,牆上與桌上也無法倖免,都成了他的計算板,「不要弄壞我的圖」這是阿基米德最後的一句話。他那種到死還在思考問題的精神實在令人恭維!自己雖沒有像他那種時時都在思考的旺盛的研究精神,甚至有時候思考不專導致想睡覺,實在是不得不像他看齊!